 1) On a
    $$V_n = \vvvv{v_0}{v_1}{\vdots}{v_n} = \vvvv{u_0}{u_0 + u_1}{\vdots}{\sum_{k=0}^n u_k {n\choose k}} = M U_n = \begin{pmatrix}1 &  &  &  \\ 1 & 1 &  &  \\ \vdots & \ddots & \ddots &  \\ 1 & \dots & \dots & 1 \end{pmatrix} \vvvv{u_0}{u_1}{\vdots}{u_n},$$
    où $M\in\M_{n+1}(\R)$ est la matrice $M= \big({i+1\choose j+1}\big)_{i,j\leq n+1}$, triangulaire inférieure.
 2) On sait que la matrice $M$ est inversible (triangulaire inférieure, avec une diagonale de $1$).
    
    On sait par ailleurs que la transposée de $M$ est la matrice de l'application $u\in \mc L(\R_n(X))\colon P\mapsto P(X+1)$, donc que $M^{-T}$ est la matrice de $u^{-1}\colon P\mapsto P(X-1)$, c'est-à-dire $M^{-T} = \big({j+1\choose i+1} (-1)^{i+j}\big)_{i,j\leq n+1}$, et $M^{-1} = \big({i+1\choose j+1} (-1)^{i+j}\big)_{i,j\leq n+1}$.
    
     On a alors $U_n = M^{-1} V_n$, c'est-à-dire $u_n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^{n+k} v_k = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^{n-k}v_k$.